В старину так называли вообще начало, почин, с ударением на втором слоге. В таком случае смысл фамилии прозрачен: ее получали люди передовые, энергичные, способные начать новое дело.

Но бытовало и другое значение слова починок – выселки. Починковым называли хозяйство, обустраиваемое на месте расчистки или выжега в лесу, т.е. далеко от деревни. Земли там давали хороший урожай, поэтому переселялись на починки охотно. Естественно, что новое место жительства давало и новое прозвание людям – Починки.

А в Курской губернии такое прозвище могла получить семья, где пряли пряжу, поскольку слово починок, как и початок означало веретено. Так что Початков в определенном смысле «однофамилец» Починка, Починкова, Починковского.